■ドローネー集合(その79)

ファン・オスは4次元の星形正多面体が10種に限ることを証明した。証明になかで、視野。

arccos(root3/2τ)

が直角と有理比ではないことを自明としている。

m・arccos(root3/2τ)+n・π/2≠0

そこで、ここでは

  2arccos(root3/2τ)/π

=arccos(3/2τ^2-1)/π

=arctan(-root((9+6root5)/5)/π

が無限連分数になることかどうか確認しておきたい。

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  阪本ひろむ氏に連分数展開してもらったところ、

L=[0:1,1,1,3,1,1,3,65,2,・・・]

であった。

[0:1,1]=1/2

[0:1,1,1]=2/3

[0:1,1,1,3]=7/11

[0:1,1,1,3,1]=[0:1,1,1,4]=9/14

[0:1,1,1,3,1,1]=[0:1,1,1,3,2]=16/25

[0:1,1,1,3,1,1,3]=57/89

 2arccos(root3/2τ)/πの有理数近似は

   2/3,7/11,9/14,16/25,57/89,・・・

である。a/b,c/dをたすき掛けad-bcしてみると(-1)^nになる

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