■ドローネー集合(その62)

 数列a0=0, a1=1,ak+2=ak+ak+1

の隣り合う2項の比は1/τに収束する

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 数列a0=0, a1=1,ak+2=ak+2ak+1

の隣り合う2項の比は√2-1に収束する

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π-3の連分数展開は[0:7,15,1,291,・・・]より

πの近似分数は22/7,333/106,355/113,103993/33102、・・・となるが

次の連分数が大きいため、22/7.355/113が非常に良い近似値になる。

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e-2の連分数展開は[0:1,2,1,1,4,1,1,6,・・・]より

近似分数は1/1,2/3,3/4,5/7,23/32,28/39,51/71.334/334/465,・・・となるが、あまり良い近似は得られない。

しかし、(e-1)/(e+1)の連分数展開から、eに換算して

19/7.193/71,2721/1001,49171/18089、・・・が大変良い近似分数になる。

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 有理数は有限連分数,無理数で代数的数の場合は無限循環連分数,超越数は無限非循環連分数になります.たとえば,超越数eの連分数展開は,

  e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14,1,1,16,・・・]

と書け,数字の出方が自然数順になっていることがわかります.

  e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,・・・,1,2n,1,・・・]   (オイラーの公式)

すなわち,2次の無理数のように規則的になっているわけですが,eのように超幾何関数の特殊値は3次の無理数よりも,2次の無理数に近いということなのでしょうか?

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【1】ランベルトの公式

  e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,・・・,1,2n,1,・・・]   (オイラーの公式)

に対して,ランベルトの公式とは

  {exp(2/m)+1}/{exp(2/m)−1}

 =[m,3m,・・・,(2n+1)m,・・・]

とくに,m=2とおけば

  (e+1)/(e−1)=[2,6,・・・,2(2n+1),・・・]

 なお,

  2/(√e−1)=[1,6,・・・,2(2n+1),・・・]

なども知られている.

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