■ドローネー集合(その60)

高貴な数とは、連分数v=[a0:a1,a2,・・,an,1,1,1,・・・]によって定義される。

 [a0:a1,a2,・・,an]のk番目[a0:a1,a2,・・,ak]で打ち切ったとき、

近似分数の分子と分母をそれぞれ、Ak, Bkで表すと

  [a0:a1a2,・・,an]→[a0:a1a2,・・,an+1,1,1,1,・・・]=(τAn-1+An)/(τBn-1+Bn)

のように表現できる。

 [0:3,1,1,1,・・・]

 [0:4,1,1,1,・・・]

を求めてみたいのであるが、それぞれ

 [0:2]=1/2

 [0:3]=1/3

で止まってしまう。

 [0:1,2,1,1,・・・]

 [0:1,1,2,1,・・・]

 [0:1,1,1,2,・・・]

の補数を求めてみることにする。

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 [0:1,2]=1/(1+1/2)=2/3

 [0:1]=[1:0]

1/1

したがって、

 [0:1,3,1,1,・・・]=(τ+2)/(τ+3)

補数は[0:1,0,3,1,1,・・・]

=[0:4,1,1,・・・]=1-(τ+2)/(τ+3)

=1/(τ+3)

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 [0:1,3]=1/(1+1/3)=3/4

 [0:1]=[1:0]

1/1

したがって、

 [0:1,4,1,1,・・・]=(τ+3)/(τ+4)

補数は[0:1,0,4,1,1,・・・]

=[0:5,1,1,・・・]=1-(τ+3)/(τ+4)

=1/(τ+4)

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