高貴な数とは、連分数v=[a0:a1,a2,・・,an,1,1,1,・・・]によって定義される。

　[a0:a1,a2,・・,an]のk番目[a0:a1,a2,・・,ak]で打ち切ったとき、

近似分数の分子と分母をそれぞれ、Ak, Bkで表すと

　　[a0:a1a2,・・,an]→[a0:a1a2,・・,an+1,1,1,1,・・・]=(τAn-1+An)/(τBn-1+Bn)

のように表現できる。

　[0:3,1,1,1,・・・]

　[0:4,1,1,1,・・・]

を求めてみたいのであるが、それぞれ

　[0:2]=1/2

　[0:3]=1/3

で止まってしまう。

　[0:1,2,1,1,・・・]

　[0:1,1,2,1,・・・]

　[0:1,1,1,2,・・・]

の補数を求めてみることにする。

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　[0:1,1,1,1]=[0:1,1,2]

1/(1+1/(1+1/2))

=1/(1+2/3)=3/5

　[0:1,1,1]=[0:1,2]

=1/(1+1/2)=2/3

したがって、

　[0:1,1,1,2,・・・]=(2τ+3）/（3τ＋5）

補数は[0:1,0,1,1,2,・・・]

=[0:2,1,2,・・・]=1-(2τ+3）/（3τ＋5）

=(τ+2）/（3τ＋5）

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　[0:1,1,1]=[0:1,2]

1/(1+1/2)=2/3

　[0:1,1]=[0:2]

1/2

したがって、

　[0:1,1,2,1,・・・]=(τ+2）/（2τ＋3）

補数は[0:1,0,1,2,1,・・・]

=[0:2,2,1,・・・]=1-(τ+2）/（2τ＋3）

=(τ+1）/（2τ＋3）

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　[0:1,1]=[0:2]

1/2

　[0:1]=[1:0]

1/1

したがって、

　[0:1,2,1,1,・・・]=(τ+1）/（τ＋2）

補数は[0:1,0,2,1,1,・・・]

=[0:3,1,1,・・・]=1-(τ+1）/（τ＋2）

=1/（τ＋2）

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(aτ+b）/（cτ＋d）の係数a,b,c,dがフィボナッチ数列になっている。

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