■ドローネー集合(その54)

 単純循環連分数

  L=[a:b,b,b,b,・・・]

で表される数Lを求めてみることにしましょう.

  L−a=R=[0:b,b,b,b,・・・]=1/(b+R)

  R^2+bR−1=0 → R=(−b+(b^2+4)^(1/2))/2

  L=a+R=a−b/2+(b^2/4+1)^(1/2)

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 同様に,2項が循環する連分数は

  L=[a:b,c,b,c,・・・]

  L−a=R=[0:b,c,b,c,・・・]=1/(b+1/(c+R))=(c+R)/(bc+bR+1)

  bcR+bR^2+R−c−R=0

  bR^2+bcR−c=0

 → R=(−bc+((bc)^2+4bc)^(1/2))/2b

 → R=(−bc/2+((bc)^2/4+bc)^(1/2))/b

  L=a+R={ab−bc/2+((bc)^2/4+bc)^(1/2)}/b

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