外接円の半径:R

内接円の半径:r

外接円と内接円の中心間距離:d

とおく

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[１]オイラーの定理

任意の三角形は外心・内心をもつ。このとき、2心間の距離について、2次同次式:

R^2-2Rr=d^2

が成り立つ（オイラー）。

オイラーの関係式を導き出すことは見かけより厄介であるが、ポンスレーの不定命題を使えば簡単にオイラーの関係式を導き出せる。

オイラーの関係式を導き出せば、正三角形でない場合、直ちにR ≧ 2rがわかる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[２]フースの定理

任意の三角形は外心と内心をもつが、四角形ではそうではない。しかし、双心四角形の場合、 2心間の距離について、4次同次式:

2r^2(R^2+d^2)=(R^2-d^2）^2

が成り立つ（フース）

双心n角形(n=4~8)の基底はフースが見つけたとされるが、実際は基底を与える方程式を導いただけで、解を示すことはできなかったと思われる。

n=4: 4次同次式

n=5: 6次同次式

n=6: 8次同次式

n=7: 12次同次式

n=8: 16次同次式

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　円に内接するもっとも周長の長いｎ角形は正ｎ角形であるが、楕円に内接してもっとも周長の長いｎ角形は

2つの焦点を共有する楕円に外接する外接するものであることが分かっている。

証明はかなり面倒であるので深入りしないが、このｎ角形は外接楕円と内接楕円を有し、それらの焦点は２つの楕円に共通しているのである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝