■初等幾何の楽しみ(その142)

 極座標(r,θ)で表される曲線r=f(θ)上の点Pでの接線と動径OPのなす角をαとすると

cosα=1/r・dr/dθ

となる。

===================================

対数らせんr=a^θでは、

cosα=1/r・dr/dθ=loga

より、接線と動径のなす角は一定である(等角らせん)。

また、2点(r1,θ1)(r2,θ2)の間の弧の長さは|r1-r2|に比例する。

===================================

 接線極座標という、極座標によく似た曲線の表し方がある。

原点から曲線の任意の接線へ垂線を下し、その足の極座標を(p(θ)、θ)とすると、この接線の方程式は

  xcosθ+ysinθ=p(θ)

であり、その包絡線が元の曲線である。歯車や定幅曲線・内転形の設計に用いられる。

===================================