■初等幾何の楽しみ(その134)

 アステロイド

  x=a/4・{3cosθ+cos3θ}=a(cosθ)^3

  y=a/4・{3sinθ-sin3θ}=a(sinθ)^3

書き換えると

  x^^2/3+y^2/3=1

の任意の点での接線がx軸、y軸と交わる点をP,Qとすると、線分PQの長さは常にaであることを証明せよ。

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dx/dθ=-3a(cosθ)^2sinθ

dy/dθ=3a(sinθ)^2cosθ

接線は

  (x-a(cosθ)^3)/-cosθ=(y-a(sinθ)^3)/sinθ

  x/acosθ+y/asinθ=1

これよりPQ=a

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