■ベルヌーイとオイラー(その4)

 ヤコブ・ベルニーイは

 an=(1+1/n)^n

 lim(1+1/n)^n=e

 1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・=e

を示した。

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 2<e<3は次のようにして示すことができます.

(証) n!=1・2・3・・・n>1・2・2・・・2=2^(n-1)

より,

  e=1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・+1/n!+・・・<1+1+1/2+1/2^2+・・・+1/2^(n-1)=3

  2<eは明らかである.

 これより,単調増加数列{an }は有界でn→∞のとき収束することがわかります.

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 Σ1/n^2 =1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・=π^2/6

が収束することは1/n^2<1/(n−1)nを用いて,次のようにして示すことができます.

(証)n次部分和をPn とすると,

  Pn =1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・+1/n^2

<1+1/1・2+1/2・3+・・・+1/(n−1)・n

=1+(1/1−1/2)+(1/2−1/3)+・・・(1/(n−1)−1/n)

=2−1/n<2

より,単調増加数列{Pn }は有界でn→∞のとき収束することがわかります.

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