ヤコブ・ベルヌーイは

　　Ｓn＝Σ1/n^2=1/1^2+1/2^2+1/3^2+･･･+1/n^2+・・・

が2より小さい値に収束することを発見した。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　Σ１／ｎ^2 ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

が収束することは１／ｎ^2＜１／（ｎ−１）ｎを用いて，次のようにして示すことができます．

（証）ｎ次部分和をＰn とすると，

　　Ｐn ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ^2

＜１＋１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／（ｎ−１）・ｎ

＝１＋（１／１−１／２）＋（１／２−１／３）＋・・・（１／（ｎ−１）−１／ｎ）

＝２−１／ｎ＜２

より，単調増加数列｛Ｐn ｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝