■x^2+y^2+z^2+w^2=n(その6)

 不思議な4平方和恒等式を紹介したい.

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[1]

 6(a^2+b^2+c^2+d^2)

=(a+b)^2+(a−b)^2+(c+d)^2+(c−d)^2

+(a+c)^2+(a−c)^2+(b+d)^2+(b−d)^2

+(a+d)^2+(a−d)^2+(b+c)^2+(b−c)^2

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[2]

 6(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

=(a+b)^4+(a−b)^4+(c+d)^4+(c−d)^4

+(a+c)^4+(a−c)^4+(b+d)^4+(b−d)^4

+(a+d)^4+(a−d)^4+(b+c)^4+(b−c)^4

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[雑感]

 2(a^2+b^2)

=(a+b)^2+(a−b)^2

 しかし,

 2(a^2+b^2)^2≠(a+b)^4+(a−b)^4

 2平方和版は成り立たないわけであるから,6平方和版,8平方和版も成り立たないと思われる.

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