ａn＝（１＋１／ｎ）^n

が単調増加数列であることを示しましたから，次には上界が存在することを示したい．・・・２＜ｅ＜３は次のようにして示すことができます．

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（証）　ｎ！＝１・２・３・・・ｎ＞１・２・２・・・２＝２^(n-1)

より，

　　e=1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n!+･･･＜1+1+1/2+1/2^2+･･･+1/2^(n-1)＝３

　　２＜ｅは明らかである．

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