■ほぼ1の数の無限積(その10)

 (1+1/n)^n

において、

n=1のとき、1

n=2のとき、9/4

n=3のとき、64/27

・・・・・・・・・・・・

n=10なら、2,59374・・・

n=100000なら2.71826・・・

n=10000000なら、2.71828・・・

nが∞に近づくにつれて→e

===================================

 ついでながら,n^1/nについても調べてみよう。

nの2のとき、1.414・・・

nの3のとき、1.442・・・

nの4のとき、1.414・・・

nの5のとき、1.1.379・・・

nが∞に近づくにつれて→x1

 それでは、

[Q] n^1/nが最大となるnは?

===================================

[A]f(x)=x^1/x

g(x)=logf(x)=logx/x

g'(x)=(1-logx)/x^2

x=e^1/eのとき、最大値1.44466786100・・・をとる。

x=e^1/eは1より大きく、√2より大きいが、√3より小さいことに注意。

===================================