■周期的四面体らせん構造(その23)

 y軸の回りに回転させると

  A(−bs,0,bc)

  B(bs,0,bc)

  C(0,h,0)

  D(xc,y,xs)

  F(αc−γs,β,αs+γc)

  O(0,Y,0)

もしも,z軸方向からみて円になるのであれば,AB=DF

4b^2s^2=(αc−γs−xc)^2+(β−y)^2

=α^2c^2+γ2s^2+x^2c^2−2αγsc+2γxsc−2αxc^2+(β−y)^2

=α^2c^2+γ2−γ^2c^2+x^2c^2−2αγsc+2γxsc−2αxc^2+(β−y)^2

=γ^2+(β−y)^2+c^2(α^2−γ^2+x^2−2αx)+(−2αγ+2γx)sc

(2αγ−2γx)sc=γ^2+(β−y)^2+c^2(α^2−γ^2+x^2−2αx)

A=(x−α)^2−γ^2+4b^2

B=(2αγ−2γx)

C=γ^2+(β−y)^2−4b^2

Bsc=C+Ac^2

B^2c^2(1−c^2)=C^2+2ACc^2+Ac^4

(A^2+B^2)c^4+(2AC−B^2)c^2+C^2=0

D=(2AC−B^2)^2−4(A^2+B^2)C^2

=−4AB^2C+B^4−4B^2C^2=B^2(B^2−4AC−4C^2)

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 AO=BO=FOとなるOを求める.

  A(−bs,0,bc)

  B(bs,0,bc)

  C(0,h,0)

  D(xc,y,xs)

  F(αc−γs,β,αs+γc)

  O(0,Y,0)

b^2s^2+Y^2=(αc−γs)^2+(β−Y)^2

b^2s^2=α^2c^2+γ^2s^2^2−2αγsc+β^2−2βY

Y=(−b^2s^2+α^2c^2+γ^2s^2−2αγsc+β^2)/2β

s^2,c^2,scを代入して,

cos(∠AOC)=−Y/(b^2s^2/4+Y^2)^1/2

を求める.

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