Ａ（０，０，ｂ）

　　Ｂ（０，０，−ｂ）

　　Ｃ（０，ｈ，０）

　　Ｄ（ｘ，ｙ，０）

　　Ｅ（−ｘ，ｙ，０）

　　Ｆ（α，β，γ）

ｈ^2＋ｂ^2＝１

ＡＣ^2＝ｈ^2＋ｂ^2＝１

ＡＤ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｂ^2＝１

ＣＤ^2＝ｘ^2＋（ｙ−ｈ）^2＝１

ｘ^2＋ｙ^2＝ｈ^2

ｂ^2＝−２ｈｙ＋ｈ^2

ｙ＝（ｈ^2−ｂ^2）／２ｈ＝（２ｈ^2−１）／２ｈ

ｙ^2＝（２ｈ^2−１）^2／４ｈ^2

ｘ^2＝ｈ^2−ｙ^2

−ｂ^2＝ｘ^2＋ｙ^2−１

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　Ｆ（α，β，γ）の計算は以下の通りである．

　Ｂから△ＡＣＤに下ろした垂心Ｈ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）を求めなければならない．正三角形を底面としてその高さをＨとすると

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＋（３／４−Ｈ^2）^1/2＝√３／２

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）＋（３／４−Ｈ^2）＋２（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2（３／４−Ｈ^2）^1/2＝３／４

　　（２ｂ^2−Ｈ^2）＋（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2（３／４−Ｈ^2）^1/2＝０

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）（３／４−Ｈ^2）＝Ｈ^4−４ｂ^2Ｈ^2＋４ｂ^4

　　３ｂ^2−４ｂ^2Ｈ^2−３Ｈ^2／４＋Ｈ^4＝Ｈ^4−４ｂ^2Ｈ^2＋４ｂ^4

　　３ｂ^2−３Ｈ^2／４＝４ｂ^4，３ｂ^2−４ｂ^4＝３Ｈ^2／４

　　Ｈ^2＝４ｂ^2−１６ｂ^4／３

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＝４ｂ^2／√３

　　（３／４−Ｈ^2）^1/2＝３／４−４ｂ^2＋１６ｂ^4／３

　ＨはＡとＣＤの中点を結んだ直線上でＡから４ｂ^2／√３の距離にある．

ｂ＝１／２のとき，√３／３であるからＯＫ．

　　Ａ（０，０，ｂ）

　　Ｂ（０，０，−ｂ）

　　Ｃ（０，ｈ，０）

　　Ｄ（ｘ，ｙ，０）

　　Ｍ（ｘ／２，（ｙ＋ｈ）／２，０）

　　ＡＭ（ｘ／２，（ｙ＋ｈ）／２，−ｂ）

　　（Ｘ）／（ｘ／２）＝Ｙ／（ｙ＋ｈ）／２＝（Ｚ−ｂ）／（−ｂ）＝ｋ

ｋ＝（４ｂ^2／√３）／（√３／２）＝８ｂ^2／３より，Ｈ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が求められる．

Ｆ（α，β，γ）はＢ＋２ＢＨで与えられる．

ＢＨ＝（Ｘ，Ｙ，Ｚ＋ｂ）

２ＢＨ＝（２Ｘ，２Ｙ，２Ｚ＋２ｂ）

Ｂ＋２ＢＨ＝（２Ｘ，２Ｙ，２Ｚ＋ｂ）＝Ｆ（α，β，γ）

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