■フィボナッチ数列の三角関数表現(その3)

 初項1,第2項1から始まるフィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,・・・

の場合は

  Fn=1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]

であるから,x^n−1に対応していて

  Fn=Π(k=1~[n/2]){1+4cos^2(kπ/n)}

となる.

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【雑感】畳敷きの問題(n×2mの長方形の部屋にn×m枚の畳を敷く場合の敷き方は何通りあるか)で,とくにm=1のときは

  K(n×2)=Π(l=1~[(n+1)/2]{1+4cos^2(lπ/(n+1))}

という式が出てくるが,これはフィボナッチ数列の三角関数表現になっている.

 ここで,n→2mと置き換えれば

  K(2m×2)=K(2×2m)

 =Π(k=1~m]{1+4cos^2(kπ/(2m+1))}

となる.また,n=1のとき,畳の敷き方はただ1通りであるから,</P>

  K(1×2m)=1

  1+4cos^2(kπ/(2m+1))

の1はK(1×2m)=1の場合に対応していて,組み合わせ数の本質的な部分は

>  4cos^2(kπ/(2m+1))

と思われる.そこで,K(n×2m)を求めるには1の代わりに

  4cos^2(lπ/(n+1))</P>

を用いればよいことになる.

 以上のことから,

  K(n×2m)

 =Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]{4cos^2(lπ/(n+1))+4cos^2(kπ/(2m+1))}

 =2^2m[(n+1)/2]Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]{cos^2(lπ/(n+1))+cos^2(kπ/(2m+1))}

と考えられるのである.1が消えた理由を無理矢理こじつけたようであるが,・・・

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