ｃｏｓｎθはｃｏｓθ＝λの多項式として書くことができて，第１種チェビシュフ多項式

　　Ｔ0（ｘ）＝１，

　　Ｔ1（ｘ）＝ｘ，

　　Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2−１，

　　Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3−３ｘ，

　　Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１，・・・

また，Ｔn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／２ｎ），ｋ＝１，３，５，・・・，２ｎ−１と表されます．

［１］ｐ1＝４，ｃｏｓ^2（π／ｐ1）＝１／２の場合

　　Ｐn（λ）＝Ｔn（λ）／２^n-1

ｎ＝４のとき

　　Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１

ｘ^2＝（２±√２）/４

Ｔn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／２ｎ），ｋ＝１，３，５，・・・，２ｎ−１と一致。

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　ｓｉｎの場合には番号をひとつずらせて，ｓｉｎ（ｎ＋１）θ／ｓｉｎθを考えると，第２種チェビシュフ多項式

　　Ｕ0（ｘ）＝１，

　　Ｕ1（ｘ）＝２ｘ，

　　Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2−１，

　　Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3−４ｘ，

　　Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１，・・・

また，Ｕn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／（ｎ＋１）），ｋ＝１，２，３，・・・，ｎと表されます．

［２］ｐ1＝３，ｃｏｓ^2（π／ｐ1）＝１／４の場合

　　Ｐn（λ）＝Ｕn（λ）／２^n

ｎ＝４のとき

　　Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１＝０

ｘ＝（5±1）/４、

Ｕn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／（ｎ＋１）），ｋ＝１，２，３，・・・，ｎと一致。

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［３］ｐ1＝５の場合，

　　２^nＰn（λ）＝２τＴn（λ）−（τ−１）Ｕn（λ）

　　τ＝（１＋√５）／２

ｎ＝４のとき

２τＴn（λ）−（τ−１）Ｕn（λ）＝２τ（８ｘ^4−８ｘ^2＋１）−（τ−１）（１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１）＝０

２τ^2（８ｘ^4−８ｘ^2＋１）−(１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１）＝０

（１６τ^2-１６）ｘ^4−(１６τ^2-１２）ｘ^2＋(２τ^2-１）＝０

１６τｘ^4−(１６τ＋４）ｘ^2＋（２τ＋１）＝０

　ｘ^2＝｛（８τ＋２）±（４８τ＋３６）｝/１６τ

数値的にcos(π/30)と一致。

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