■対蹠点までの距離(その37)

 cosnθはcosθ=λの多項式として書くことができて,第1種チェビシュフ多項式

  T0(x)=1,

  T1(x)=x,

  T2(x)=2x^2−1,

  T3(x)=4x^3−3x,

  T4(x)=8x^4−8x^2+1,・・・</P>

また,Tn(x)=0の根はcos(kπ/2n),k=1,3,5,・・・,2n−1と表されます.

 sinの場合には番号をひとつずらせて,sin(n+1)θ/sinθを考えると,第2種チェビシュフ多項式

  U0(x)=1,

  U1(x)=2x,

  U2(x)=4x^2−1,

  U3(x)=8x^3−4x,

  U4(x)=16x^4−12x^2+1,・・・

また,Un(x)=0の根はcos(kπ/(n+1)),k=1,2,3,・・・,nと表されます.

[1]p1=4,cos^2(π/p1)=1/2の場合

  Pn(λ)=Tn(λ)/2^n-1

[2]p1=3,cos^2(π/p1)=1/4の場合

  Pn(λ)=Un(λ)/2^n

 p2=・・・=pn-1=3のとき,一般にPn(λ)はTn(λ)とUn(λ)の一次結合として書くことができます.たとえば,

[3]p1=5の場合,

  2^nPn(λ)=2τTn(λ)−(τ−1)Un(λ)

  τ=(1+√5)/2

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