切り口についてはコクセター選集ｐ１８９

[３]　正２４胞体｛６｝

[４]　正６００胞体｛６｝｛１０｝とある

　これで確認が取れたが｛６｝が対蹠点に至るルートかどうかは不明である。

　ここでは４次元正多胞体の包含関係について考えてみたい。

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【１】結論を先にいうと

　６種類ある４次元正多胞体の包含関係を考えよう．興味深いことに，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．

　他方，５次元以上で４次元の正１２０胞体のような「万能正多胞体」が存在しないことも既知の結果である．

　一般に，正α胞体の頂点をうまく結んで正β胞体が含まれる場合，両者の包含関係は頂点数の整除性によって決定されると考えるのは早とちりである．たとえば，正１２面体（頂点数２０）の中に立方体（頂点数８）を内接させることはできるが，２０は８で割り切れない．

　４次元の正１２０胞体（頂点数６００）＞正８胞体（頂点数１６）もそうなっている．正８胞体の頂点数１６が正１２０胞体の頂点数６００の約数でないから，正１２０胞体は正８胞体を含まないとまじめに書いた本もあったが，少々早合点？　頂点数が約数になっていなくても別に矛盾ではない．逆に頂点数が約数になっていても包含関係が成立しない場合もある．

　結論を先にいうと，６種類の４次元正多胞体の包含関係（巡礼）をまとめると，

　　正１６胞体≦正８胞体≦正２４胞体≦正６００胞体≦正１２０胞体

　　正５胞体≦正１２０胞体

となる．１２０÷５＝２４なので，一見正６００胞体の１２０個の頂点からうまく選べば正５胞体が２４個含まれても良いように見えるが，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れない．４次元正多胞体の中で正５胞体は何か異端児である．

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【２】結論

　正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．たとえば，正５胞体は（−σ，１／τ，１／τ，１／τ），（１／τ，−σ，１／τ，１／τ），（１／τ，１／τ，−σ，１／τ），（１／τ，１／τ，１／τ，−σ），（１，１，１，１）を結んでできる．しかしながら，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れない．

[４]　正６００胞体｛６｝｛１０｝とあるが、｛６｝については

[３]　正２４胞体｛６｝からきているものと考えられた。

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