■対蹠点までの距離(その6)

 これまでの話をまとめると・・・.

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[1]正単体

 指数{ml}={1,2,3,,・・・,n}

 和Σmi=n(n+1)/2は対称超平面の個数である

 指数{ml+1}={2,3,4,,・・・,n+1}

 積Π(m+1)=(n+1)!は位数

 3次元の場合の母関数は

(1−x^2)(1−x^3)(1−x^4)/(1−x)^3

=(1+x)(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3)=1+3x+5x^2+6x^3+5x^4+3x^5+x^6=0

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[2]立方体

  {2,4,6,・・・,2n}  積2^nn!

  {1,3,5,・・・,2n−1}  和n^2

 指数{ml}={1,3,5,・・・,2n−1}

 和Σmi=n^2は対称超平面の個数である

 指数{ml+1}={2,4,6,・・・,2n}

 積Π(m+1)=2^nn!は位数

 3次元の場合の母関数は

(1−x^2)(1−x^4)(1−x^6)/(1−x)^3

=(1+x)(1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)

=1+3x+5x^2+7x^3+8x^4+8x^5+7x^6+5x^7+3x^8+x^9

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[3]{3,5}

  {1,5,9}  和15

  {2,6,10}  積120

(1−x^2)(1−x^6)(1−x^10)/(1−x)^3

[4]{3,3,5}

  {1,11,19,29}  和60

  {2,12,20,30}  積14400

(1−x^2)(1−x^12)(1−x^20)(1−x^30)/(1−x)^4

[5]{3,4,3}

  {1,5,7,11}  和24

  {2,6,8,12}  積1152

(1−x^2)(1−x^6)(1−x^8)(1−x^12)/(1−x)^4

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