整数の集合を２×３＝６行に並べてみる．

１　７　13　19　25　31　37　43　49　55　61　67　73　79　85　91　97

２　８　14　20　26　32　28　44　50　56　62　68　74　80　86　92　98

３　９　15　21　27　33　39　45　51　57　63　69　75　81　87　93　99

４　10　16　22　28　24　40　46　52　58　64　70　76　82　88　94

５　11　17　23　29　35　41　47　53　59　65　71　77　83　89　95

６　12　18　24　30　36　42　48　54　60　66　72　78　84　90　96

　すると，4行目と6行目には素数がないことがわかる．２行目と３行目では最初の項を除けば素数がないことがわかるだろう．

　２と３以外の素数はすべて1行目と5行目にまとまっているのであるが，とくに５行目には 　　５，１１，１７，２３，２９ という素数の等差数列が見られる。

　２×３＝６行に引き続き、整数の集合を

　２×３×５＝３０行

　２×３×５×７＝２１０行

に並べてみても、同様の現象が観察される．

　たとえば，３０行に並べた場合，

　　３５９，３８９，４１９，４４９，４７９，５０９

２１０行に並べた場合，、

　　１９９，４０９，６１９，８２９，１０３９，１２４９，１４５９，１６６９，１８７９，２０８９

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　セメレディの定理（１９７５年）によると，ある集合の密度が０でなければどのような長さの等差数列もその集合の中に含まれる．いまなお，２６個以上の素数の等差数列は知られていないが，グリーン・タオの定理（２００８年）は１００個，１０００個，１万個の等差数列も存在することを示している．（それが具体的にどのようなものであるのか決定することはできないのであるが…）

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