Ｍ（ａ，ｂ）＝１／（2/π∫(0,1)ｄｘ/√（１−ｘ^2）（１−ｋ^2ｘ^2））

　算術幾何平均とテータ関数の関係を調べれみたい．

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【１】公式集

θ00（２τ，２ｚ）＝｛θ00（τ，ｚ）^2＋θ01（τ，ｚ）^2｝／２θ00（τ，０）

θ00（２τ，０）^2＝１／２｛θ00（τ，０）^2＋θ01（τ，０）^2｝

θ01（２τ，０）^2＝θ00（τ，０）θ01（τ，０）

ｋ’（τ）＝θ01（τ，０）^2／θ00（τ，０）^2，ｋ（τ）^2＝１−ｋ’（τ）^2

Ｋ（τ）＝π／２・θ00（τ，０）^2＝∫(0,1)ｄｘ/√（１−ｘ^2）（１−ｋ（τ）^2ｘ^2）

とおくと

　　Ｍ（１，ｋ’（τ））＝π／２Ｋ（τ）＝１／θ00（τ，０）^2

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