■放物線・懸垂線・楕円曲線(その14)

【1】ヤコビのテータ関数

q=exp(2πiz)

θ3=Σq^n^2

θ4=Σ(−1)^nq^n^2

θ2=Σq^(n+1/2)^2,

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θ3=Σq^n^2

 θ3=Σq^m^2=1+2q+2q^4+2q^9+・・・

は1次元格子Zを表す.ノルム(ベクトルの長さの2乗)が0のベクトルが1個,ノルムが1のベクトルが2個(±1),ノルムが4のベクトルが2個(±2),ノルムが9のベクトルが2個(±3),・・・

θ2=Σq^(n+1/2)^2

Z+1/2=(・・・,−3/2,−1/2,1/2,3/2,・・・)

 θ2=Σq^(m+1/2)^2=2q^1/4+2q^9/4+2q^25/4+・・・

θ4はノルムが奇数のものの符号を変えてできる格子に対応している

 θ4=Σ(−q)^m^2=1−2q+2q^4−2q^9+2q^16+・・・

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格子Znにはθ3-nが対応している

Dnのテータ関数は1/2(θ3^n+θ4^n)

θ2はZn+(1/2,1/2,・・・,1/2)

1/2θ2はDn+(1/2,1/2,・・・,1/2)に対応している.

Dn+のテータ関数は1/2(θ2^n+θ3^n+θ4^n)

ダイアモンド:1/2(θ2^3+θ3^3+θ4^3)

E8:1/2(θ2^8+θ3^8+θ4^8)

D4+はZ4と同型であるから,

  θ3^4=1/2(θ2^4+θ3^4+θ4^4)

  θ3^4=θ2^4+θ4^4

が成り立つ.

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