（その６）については疑問符がつくが，それはともかくとして

　　直径を求める問題＝平行な辺の組の数を求める問題

であった．

　ｎ次元置換多面体はｍ＝ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトル，また，その立方体版はｍ＝ｎ（ｎ−１）＋ｎ＝ｎ^2組の平行なｎ次元ベクトル

　　Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝

をもつ．ｖiは辺に沿ったベクトルである．

　したがって，これらの体積は線分のミンコフスキー和

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

で与えられる．すなわち，（ｍ，ｎ）個の項をもつこの公式は，複体を平行体（parallelepiped）に分解してそのミンコフスキー和ととることを意味している．

　なお，このベクトル配置は１次従属になることもあり，その場合，ある項はゼロになるから（ｍ，ｎ）個以下の平行体に分解できることになる．

［１］ｎを空間の次元とすると，（ｖi，ｖj）＝ｄｅｔ（Ｖ）^2となるのは，ｎ×ｎのときであり，それ以外では成り立たない（佐武一郎「線型代数学」）

［２］ベクトルｖ1，ｖ2，・・・，ｖnがあるとき，ｄｅｔ（（ｖi，ｖj））＝０であるための必要十分条件は，ｖ1，ｖ2，・・・，ｖnが一次独立でないということである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＋

【１】置換多面体の場合

　稜の長さが√２の正単体の高さＨnは，

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）

で与えられる．すなわち，辺の長さを１に規格化すると，高さは

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）／√２

で与えられる．

　（ｎ＋１）次元の場合，新しく加わった軸上の正の側に１辺の長さが１となるように新しい頂点を取り，中心が原点にくるように全体を平行移動させると，

　　Ｈn・ｎ／（ｎ＋１）＝√（ｎ／２（ｎ＋１））

　　−Ｈn・１／（ｎ＋１）＝−√（１／２ｎ（ｎ＋１））

より，具体的な座標値は

　　（−１／２，　−√（１／１２），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（＋１／２，　−√（１／１２），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（０，√（１／３），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（０，０，√（３／８），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（０，０，０，√（２／５），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，０，０，・・・，＋√（ｎ／２（ｎ＋１）））

となる．

　たとえば，２次元正単体の３頂点は

　　（−１／２，−√（１／１２））

　　（＋１／２，−√（１／１２））

　　（０，√（１／３））

３次元正単体の４頂点は

　　（−１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））

　　（＋１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））

　　（０，√（１／３），−√（１／２４））

　　（０，０，√（３／８））

　そこで，

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

とおくと，

　　Ｐ0（−ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ1（＋ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ2（０，＋２ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ3（０，０，＋３ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ4（０，０，０，＋４ａ4，・・・，−ａn）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn（０，０，０，０，・・・，＋ｎａn）

　Ｐ0が原点になるように平行移動させると，

　　Ｐ0（０，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1（２ａ1，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ2（ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）

　　Ｐ3（ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn-1（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐn（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトルは

　　Ｐ0Ｐ1＝（２ａ1，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ0Ｐ2＝（ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）

　　Ｐ0Ｐ3＝（ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　Ｐ0Ｐ4＝（ａ1，ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ0Ｐn-1（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ0Ｐn＝（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐ1Ｐ2＝（−ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1Ｐ3＝（−ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　Ｐ1Ｐ4＝（−ａ1，ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ1Ｐn-1（−ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ1Ｐn＝（−ａ1，ａ2，ａ3，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐ2Ｐ3＝（０，−２ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　Ｐ2Ｐ4＝（０，−２ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ2Ｐn-1（０，−２ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ2Ｐn＝（０，−２ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐ3Ｐ4＝（０，０，−３ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ3Ｐn-1（０，０，−３ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ3Ｐn＝（０，０，−３ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐn-1Ｐn＝（０，０，０，・・・，−（ｎ−１）ａn-1，（ｎ＋１）ａn）

であって，それぞれノルムで割って規格化する必要がある．

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