切頂八面体（３次元置換多面体）の場合，１ステップで移ることができる頂点は３個ある．それでは，頂点（１２３４）から

［Ｑ］２ステップで移ることができる頂点は何個あるだろうか？

［Ｑ］３ステップで移ることができる頂点は何個あるだろうか？

［Ｑ］４ステップで移ることができる頂点は何個あるだろうか？

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［Ｑ］何ステップですべての頂点に移ることができるだろうか？

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【１】ポアンカレ多項式

　この問題の答えの母関数となっているのがポアンカレ多項式である．

　（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ^2）（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3）＝１＋３ｘ＋５ｘ^2＋６ｘ^3＋５ｘ^4＋３ｘ^5＋ｘ^6

［Ａ］２ステップで移ることができる頂点は５個ある

［Ａ］３ステップで移ることができる頂点は６個ある

［Ａ］４ステップで移ることができる頂点は５個ある

［Ａ］５ステップで移ることができる頂点は３個ある

［Ａ］６ステップで移ることができる頂点は１個ある

［Ａ］６ステップで２４個すべての頂点に移ることができる

　これは縦線が４本の場合のアミダクジと同型となる．すなわち，

［Ａ］１本の横線を入れたときに移ることができる縦線の組み合わせ数は３通り

［Ａ］２本の横線を入れたときに移ることができる縦線の組み合わせ数は５通り

［Ａ］３本の横線を入れたときに移ることができる縦線の組み合わせ数は６通り

［Ａ］４本の横線を入れたときに移ることができる縦線の組み合わせ数は５通り

［Ａ］５本の横線を入れたときに移ることができる縦線の組み合わせ数は３通り

［Ａ］６本の横線を入れたときに移ることができる縦線の組み合わせ数は１通り

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　正六角形（２次元置換多面体）の場合に対応するポアンカレ多項式が

　（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ^2）＝１＋２ｘ＋２ｘ^2＋ｘ^3

であり，これは３本アミダクジに横線を入れる場合に相当するというわけである．

　また，ｎ次元置換多面体のすべての頂点の移ることができるステップ数は，平行な辺の組数ｎ（ｎ＋１）／２と等しくなる．

　ｎ＝２→３ステップ

　ｎ＝３→６ステップ

　ｎ＝４→１０ステップ

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