■学会にて(JCDCG^3,その2)

【1】菱形タイルによる非周期的平面充填

 凧と矢を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは5回回転対称が現れる.凧と矢よりも2種類の菱形(72°−108°,36°−144°)で代替した方がわかりやすい.すなわち,2種類の菱形(72°−108°,36°−144°)を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは5回回転対称が現れる.パターン全体にわたって正十角形が現れるのである.すべての正十角形は同じ方向を向いていて,長距離配向秩序を示している.

 2種類の菱形は(2π/5−3π/5,π/5−4π/5)は正十角形の中心角π/5から導かれたものである.もし7回回転対称にしたければ正十四角形の中心角π/7から導かれた3種類の菱形(π/7−6π/7,2π/7−5π/7,3π/7−4π/7)を使うとよいことがわかる.

 パターン全体にわたって正十四角形が現れるのである.すべての正十角形は同じ方向を向いていて,長距離配向秩序を示すことになり,ペンローズ・タイル貼りに見た目がよく似たものができる.

 もちろん,8回回転対称,9回回転対称,さらに高次のペンローズ・タイル貼りも同様の方法で作ることができる.もし9回回転対称にしたければ正十八角形の中心角π/9から導かれた4種類の菱形(π/9−8π/9,2π/9−7π/9,3π/9−6π/9,4π/9−5π/9)を使うとよいが,8回回転対称の場合はどうだろうか?

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【2】正n角形の菱形分割

 正奇数角形の場合は辺の数を2倍にすれば(正2n角形)ゾーン多角形のようなものになり,菱形に分割できる.

[1]n=5のとき,(π/5−4π/5),(2π/5−3π/5)

[2]n=7のとき,(π/7−6π/7),(2π/7−5π/7),(3π/7−4π/7)

[3]n=9のとき,(π/9−8π/9),(2π/9−7π/9),(3π/9−6π/9),(4π/9−5π/9)

[4]n=11のとき,(π/11−10π/11),(2π/11−9π/11),(3π/11−8π/11),(4π/11−7π/11),(5π/11−6π/11)

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 正偶数角形の場合はそのままゾーン多角形になる.

  (2π/n−(1−2/n)π,4π/n−(1−4/n)π,・・・)

[1]n=6のとき,(π/3−2π/3)

[2]n=8のとき,(π/4−3π/4),(π/2−π/2)

[3]n=10のとき,(π/5−4π/5),(2π/5−3π/5)

[4]n=12のとき,(π/6−5π/6),(π/3−2π/3),(π/2−π/2)

 たとえば,正12角形の菱形分割では3種類の菱形を同し毎数ずつ使う.(π/6−5π/6)6枚,(π/3−2π/3)6枚,(π/2−π/2)6枚.

 分割の仕方は一通りではない.n=4では正方形になるが,nが6以上では2通り以上の菱形に分割される.n=6の場合は2通り,n=8の場合は4通りなど.

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