正１４角形を菱形分割した３種類の菱形の辺の中点を結ぶ長方形を考えれば，東京五輪のエンブレムになる．

　東京五輪のエンブレム制作者・野老朝雄氏の記事には６０個の菱形を並べるやり方は何億通り以上あるとのことであった．デザイナーである野老氏がよく計算したものだと驚いたが，計算幾何学関連の学会で，その疑問を解消することができた．

　９月６−８日，東京理科大学で開催されたＪＣＤＣＧ^3に参加．堀山貴史先生（現・北大）が菱形タイルについて講演．６０個の菱形を並べるやり方は何億通り以上あるという結果は計算幾何学の専門家である堀山貴史先生によるものだったのである．

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【１】２種類の菱形による非周期的平面充填

　１９７４年にイギリスの数理物理学者ペンローズの発見した２種類の菱形を組み合わせて平面を非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものです．

　凧と矢を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは５回回転対称が現れる．凧と矢よりも２種類の菱形（７２°−１０８°，３６°−１４４°）で代替した方がわかりやすいが，パターン全体にわたって正十角形が現れるのである．すべての正十角形は同じ方向を向いていて，長距離配向秩序を示している．

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【２】３種類の菱形による非周期的平面充填

　２種類の菱形は（２π／５−３π／５，π／５−４π／５）は正十角形の中心角π／５から導かれたものである．もし７回回転対称にしたければ正十四角形の中心角π／７から導かれた３種類の菱形（π／７−６π／７，２π／７−５π／７，３π／７−４π／７）を使うとよいことがわかる．

　パターン全体にわたって正十四角形が現れるのである．すべての正十角形は同じ方向を向いていて，長距離配向秩序を示すことになり，ペンローズ・タイル貼りに見た目がよく似たものができる．

　もちろん，８回回転対称，９回回転対称，さらに高次のペンローズ・タイル貼りも同様の方法で作ることができる．また，ペンロ＾ズ・タイルの３次元版が黄金菱形６面体による，非周期的空間充填である．　

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