「４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和では表されない」

　「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない」

は正確な表現ではない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」でしたが，ｎ＝２^a３^b５^c・・・ｐ^tが２つの平方数の和で表されるための必要十分条件はすべての４ｋ＋３型素数の指数が偶数であることである．

（２は２つの平方数の和である．２＝１＋１）

奇数の指数をもつ４ｋ＋３型素数がひとつでもあれば，ｎは２つの平方数の和ではない．

　４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，

　　「４のベキと８ｎ＋７の形の数の積は３個の平方数の和では表されない．」

（補）自然数ｎが２つの平方数の和であるための必要十分条件は

　　「ｎを素因数分解したとき，４ｋ＋３の形の素数が偶数乗で現れる」

ことである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　３つの平方数の和として書くことができない数としては

　　７，１５，２３，２８，・・・

がある．

　一見してパターンを見出すことは難しいが，１７９８年に，ルジャンドルは，３つの平方数の和でない数は４^k（８ｎ＋７）型で表されることを発見した．

［１］ｎ＝４ｋのとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2→　ｎ＝０　（ｍｏｄ８）

［２］ｎ＝４ｋ＋１のとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2＋８ｋ＋１→　ｎ＝１　（ｍｏｄ８）

［３］ｎ＝４ｋ＋２のとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2＋１６ｋ＋４→　ｎ＝４　（ｍｏｄ８）

［４］ｎ＝４ｋ＋３のとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2＋２４ｋ＋９→　ｎ＝１　（ｍｏｄ８）

　したがって，平方数を８で割ると余りは０，１，４のいずれかになる．→３つの平方数の和を８で割ると余りは０，１，２，３，４，５，６のいずれかになる．→８ｎ＋７型の数を表すには平方数が４つ以上必要になる．

　実は，正の整数はすべて４個の平方数の和で表される（ラグランジュの定理，１７７０年）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　４^k（８ｎ＋７）型ではない自然数だけが，３つの平方数の和として必ず表せる．

　４^k（８ｎ＋７）型の整数は，すべての整数のうちの１／６を占める．

　　１／（１−１／４）・１／８＝１／６

　これらはちょうど４つの平方数の和となり，それ以外は高々３つの平方数の和で表される．高々３つの平方数の和で表される数の割合は５／６である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝