一般に，

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

の項の順序を，正の項をｍ個，負の項をｎ個ずつ交互に並べ替えてできる級数の和は

　　ｌｏｇ２＋１／２・ｌｏｇｍ／ｎ

となる．

［１］ｍ＝２，ｎ＝１→３／２ｌｏｇ２

［２］ｍ＝１，ｎ＝２→１／２ｌｏｇ２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（証明）並べ替えた数列

｛（１／１＋１／３＋１／５＋・・・＋１／（２ｍ−１））−（１／２＋１／４＋１／６＋・・・＋１／２ｎ）｝＋｛（１／（２ｍ＋１）＋１／（２ｍ＋３）＋１／（２ｍ＋５）＋・・・＋１／（４ｍ−１））−（１／（２ｎ＋２）＋１／（２ｎ＋４）＋１／（２ｎ＋６）＋・・・＋１／４ｎ）｝＋・・・

<P />のｋ次部分和は，

｛（１／１−１／２＋１／３−１／４＋１／５＋・・・＋１／（２ｋｍ−１）−１／２ｋｍ）＋（１／２＋１／４＋１／６＋・・・＋１／２ｋｍ）−（１／２＋１／４＋１／６＋・・・＋１／２ｋｎ｝

＝ｌｏｇ２＋ｏ（１／ｋｍ）＋１／２（ｌｏｇ（ｋｍ）＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／ｋｍ））−１／２（ｌｏｇ（ｋｎ）＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／ｋｎ）

＝ｌｏｇ２＋１／２・ｌｏｇ（ｍ／ｎ）＋ｏ（１／ｋｍ）＋ｏ（１／ｋｎ）

＝

｝＋｛（１／（２ｍ＋１）＋１／（２ｍ＋３）＋１／（２ｍ＋５）＋・・・＋１／（４ｍ−１））−（１／（２ｎ＋２）＋１／（２ｎ＋４）＋１／（２ｎ＋６）＋・・・＋１／４ｎ）｝＋・・・

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