■カタラン数と漸化式(その4)

 かなり荒っぽい方法を用いてきたが,実はゼータ関数とベルヌーイ数の間には神秘的な関係があり,偶数ゼータの特殊値は

  ζ(2k)=(−1)^k+1π^2k2^2k-1B2k/(2k)!

で与えられる.

 母関数

  Z(x)=ζ(0)+ζ(2)x^2+ζ(4)x^4+・・・+ζ(2n)x^2n+・・・については

  (πz/2)cos(πz/2)/sin(πz/2)=1−Σζ(2k)z^2n/2^2n-1

で与えられる.

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 左辺=πiz/2+πiz/{exp(πiz)−1}=1−Σζ(2k)z^2n/2^2n-1

 ベルヌーイ数は

  t/(expt−1)=ΣBkt^k/k!

で定義されるから

  πiz/{exp(πiz)−1}=1−πiz/2+ΣBk(πiz)^k/k!

ΣBk(πiz)^k/k!=−Σζ(2k)z^2n/2^2n-1

より,

  ζ(2k)=(−1)^k+1π^2k2^2k-1B2k/(2k)!

が得られる.

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