■多角数の逆数和(その17)

 七角数:n(5n−3)/2について検算.

 Σ2/n(5n−3)  (n=1〜)

=Σ2/(n+1)(5n+2)  (n=0〜)

=2/5・Σ1/(n+1)(n+2/5)  (n=0〜)

=2/3・Σ{1/(n+2/5)−1/(n+1)}  (n=0〜)

  Σ{1/(n+p/q)−1/(n+1)}

=π/2・cotpπ/q+log2q−2Σcos2pkπ/q・logsinkπ/q  (0<k<q/2)

  Σ{1/(n+2/5)−1/(n+1)}=π/2・cot2π/5+log10−2{cos4π/5・logsinπ/5+cos8π/5・logsin2π/5}

=π/2・(1−2/√5)^1/2+log10−2{−(√5+1)/4・log(10−2√5)^1/2/4+(√5−1)/4・log(10+2√5)^1/2/4

=π/2・(1−2/√5)^1/2+log10−2・{

−√5/4・log(10−2√5)^1/2/4+√5/4・log(10+2√5)^1/2/4

−1/4・log(10−2√5)^1/2/4−1/4・log(10+2√5)^1/2/4}

(10+2√5)/(10−2√5)=(10+2√5)^2/80=(120+40√5)/80=(3+√5)/2→平方根は(√5+1)/2=φ

(10−2√5)(10+2√5)=80→平方根は4√5

したがって,

=π/2・(1−2/√5)^1/2+log10−2・{√5/4・logφ−1/4・log√5/4}

=π/2・(1−2/√5)^1/2+log10−√5/2・logφ+1/2・log(√5/4)

=π/2・(1−2/√5)^1/2+log2+log5−√5/2・logφ+1/4・log5−log2

=π/2・(1−2/√5)^1/2+5/4・log5−√5/2・log(φ)

この2/3倍が解となる.

=π/3・(1−2/√5)^1/2+5/6・log5−√5/3・log(φ)

=1.32278・・・

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