■多角数の逆数和(その6)

 Σanの絶対値級数Σ|an|が収束するとき,Σanは絶対収束するという.また,Σanは収束するが,Σ|an|は収束しない級数は,条件収束するという.

定理(1):絶対収束級数は項の順序をどのように変えても絶対収束し,和も変わらない.(ディリクレ)

定理(2):条件収束級数は項の順序を適当に変えれば,指定された値(±∞でもよい)を和にもつようにも,振動するようにもできる.(リーマン)

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【1】絶対収束する級数

  1−1/2+1/4−1/8+1/16−1/32+1/64−・・・=2/3

  1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+・・・=2

  (1+1/4−1/2)+(1/16+1/64−1/8)+・・・+(1/2^4n+1/2^4n+2−1/2^2n+1)+・・・=2/3

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【2】条件収束する級数

  1/1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2

  1/1+1/2+1/3+1/4+・・・=∞

 負の項が2つの連続する正の項をはさんで現れる級数

  {1/1+1/3−1/2}+{1/5+1/7−1/4}+・・・=3/2log2

正の項に引き続いて負の項が2つの連続する級数

  {1/1−1/2−1/4}+{1/3−1/6−1/8}+・・・=1/2log2

(証明)

  {1/1−1/2−1/4}+{1/3−1/6−1/8}+・・・

  =1/2log2を示す.

 与えられた級数は

 Σ{1/(2n−1)−1/2(2n−1)−1/(2(2n−1)+2)}

=Σ{1/(4n−2)−1/4n}

 一方,1/1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2より

1/2log2=1/2−1/4+1/6−1/8+・・・

       =(1/2−1/4)+(1/6−1/8)+・・・

       =Σ{1/(4n−2)−1/4n}

 一般に,

  1/1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2

の項の順序を,正の項をm個,負の項をn個ずつ交互に並べ替えてできる級数の和は

  log2+1/2・logm/n

となる.

[1]m=2,n=1→3/2log2

[2]m=1,n=2→1/2log2

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【3】条件収束する級数(続き)

  (1−1)+(1/2−1/2)+(1/3−1/3)+(1/4−1/4)+・・・=0ですが,項の順序を並べ替えてできる次の級数の和は?

[Q1](1+1/2−1)+(1/3+1/4−1/2)+(1/5+1/6−1/3)+・・・

[Q2](1+1/2+1/3−1)+(1/4+1/5+1/6−1/2)+(1/7+1/8+1/9−1/3)+・・・

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[A1]

  Σ(1/(2k−1)+1/2k−1/k)

 =Σ(1/(2k−1)−1/2k)

 =1/1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2

[A2]logγ=lim{Σ1/k−logn}

  lim{(1+1/2+1/3+・・・+1/3k)−(1+1/2+1/3+・・・+1/k)}

 =lim{(log3k+logγ+o(1/k))−(logk+logγ+o(1/k))}

 =log3

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[雑感]まだ解決の兆しが見えない.

 Σ6/3n(3n−1)

=6Σ{1/(3n−1)−1/3n}

=6{(1/2−1/3)+(1/5−1/6)+(1/8−1/9)+・・・}

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