■多角数の逆数和(その4)

[1]三角数

 Σ2/n(n+1)=2Σ1/n(n+1)=2Σ(1/n−1/(n+1))

=2{(1/1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+・・・}

=2

[2]四角数

 Σ1/n^2=π^2/6

はいいとして,

[3]五角数

 Σ2/n(3n−1)=3log3−π/√3

を求めてみたい.

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[1]Σ2/n(3n−1)

 まず,Σ2/n(3n−1)が第0項から始まるように,パラメータをずらすことにする.

  Σ2/(n+1)(3n+2)

 この級数の項比は

  an+1xn+1/anxn=(n+1)(3n+2)/(n+2)(3n+5)

=(n+1)^2(n+2/3)/(n+2)(n+5/3)・x/(n+1)

であるから,

  Σ2/(n+1)(3n+2)=a0*3F2(1,1,2/3;2,5/3;1)

また,a0=1より

  Σ2/(n+1)(3n+2)=3F2(1,1,2/3;2,5/3;1)

 超幾何級数であると同定されたものの,これでは???

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 Σ6/3n(3n−1)

=6Σ{1/(3n−1)−1/3n}

=6{(1/2−1/3)+(1/5−1/6)+(1/8−1/9)+・・・}

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