（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｂ＋ｃｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

　　　　　　　　　　　　　　　　＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

はラグランジュの恒等式（あるいはフィボナッチの等式）と呼ばれるもので，一般に

　　（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝1/2Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2

　　（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2

と書ける．

　コーシー・シュワルツの不等式

　　（Σａi^2）（Σｂi^2）≧（Σａiｂi）^2

はラグランジュの恒等式から自明であろう．この有名な不等式は角の余弦値は１以下であることの幾何学的表現と解釈することができる．

　ラグランジュの恒等式は，複素数を使って

　　ｚ1＝ａ＋ｂｉ，ｚ2＝ｃ＋ｄｉ

　　ｚ1ｚ2＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ−ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ

　　｜ｚ1ｚ2｜＝｜ｚ1｜｜ｚ2｜

と表すことで証明できる．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示している．

　ついでに言うと，三角不等式

　　｜ｚ1＋ｚ2｜≦｜ｚ1｜＋｜ｚ2｜

は

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）−（ａｃ＋ｂｄ）^2≧（ａｄ−ｂｃ）^2≧０

と表すことで証明できる．

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