【１】ラグランジュの定理

　任意の整数ｎは，ｎ個平方和

　　ｎ＝１^2＋１^2＋・・・＋１^2

に書けますから，これをなるべく少ない数の平方和でｎを表そうと思うのは自然な発想です．そこでまず，簡単な数値実験から始めることにしましょう．１から１０までの整数をいくつかの平方数の和の形式で表現するというものです．

　整数の平方

　　０，１，４，９，１６，２５，・・・

は非常にまばらにしか存在しませんが，２つの平方数の和の形で表される整数はより頻繁に現れます．１，２，４，５，８，９，１０，・・・

　　１＝１^2＋０^2

　　２＝１^2＋１^2

　　４＝２^2＋０^2

　　５＝２^2＋１^2

　　８＝２^2＋２^2

　　９＝３^2＋０^2

　１０＝３^2＋１^2

　ここで，３，６，７といった整数は，２つの平方の和では書けないことがわかります．しかし，３つの平方和となると幾分間隙を埋めてくれます．

　　３＝１^2＋１^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2

　それでも，なおすべての正の整数を得ることはできません．最後まで残った７に対しては３つの平方数の和で書けず，４つの平方数が必要となります．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　このような数値実験からいくつかのことが予想され，肯定的に証明されています．

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［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

　このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

　しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

　それでは，どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？　２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．

（補）自然数ｎが２つの平方数の和であるための必要十分条件は

　　「ｎを素因数分解したとき，４ｋ＋３の形の素数が偶数乗で現れる」

ことである．

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［２］ガウス・ルジャンドルの定理（３平方和定理）

　４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，

　　「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」

　逆にいうと，ｎ≠４^k（８ｎ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論として，この結果を得ています．

（補）自然数ｎが３つの平方数の和であるための必要十分条件は

　　「ｎが４^n（８ｋ＋７）の形でない」ことである．

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［３］ラグランジュの定理（４平方和定理）

　前述の数値実験から「すべての正の整数は，ｇ個の平方数の和として表すことができるだろうか？　さらに，ｇの最小値はいくつであろうか？」というより高度な問題が派生しますが，「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，ラグランジュの定理です．

　驚くべきことに，７のみならず，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

　このことを，シンボリックに書くと

　　ｎ＝□＋□＋□＋□

となります．□は平方数の意味です．

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