ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ａ

ＡＣ＝ＢＤ＝ｂ

ＡＤ＝ｃ

の四面体の体積は，１４４Ｖ^2

＝ａ^2ｃ^2（ａ^2−ｃ^2）

　＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

　＋ａ^4（−ａ^2＋ｃ^2）

で与えられる．

　サマーヴィルの等面四面体では，ａ^2＝３，ｂ^2＝４，ｃ^2＝３

　ヒルの直角錘では，ａ^2＝１，ｂ^2＝２，ｃ^2＝３

これまでａ^2を保って，ｂ^2、ｃ^2を変化させたが，ここではｃ^2を保って，ｂ^2、ａ^2を変化させてみたい．

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　この四面体が正三角柱状空間充填四面体となるための条件は

　　ｃ^2＝３（ｂ^2−ａ^2）

であるから，ｃ^2＝３とおくと，ｂ^2−ａ^2＝１，−２ｂ^2＝−２ａ^2−２

１４４Ｖ^2＝ａ^2ｃ^2（ａ^2−ｃ^2）＋（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）＋ａ^4（−ａ^2＋ｃ^2）

＝３ａ^2（ａ^2−３）＋（ａ^2＋１）＋ａ^4（−ａ^2＋３）

＝−Ａ^3＋６Ａ^2−８Ａ＋１

ａ^2＝ｂ^2＋１

１４４Ｖ^2＝３ａ^2（ａ^2−３）＋（ａ^2＋１）＋ａ^4（−ａ^2＋３）

＝３（ｂ^2＋１）（ｂ^2−２）＋（ｂ^2＋２）＋（ｂ^2＋１）^2（２−ｂ^2）

＝３｛Ｂ^2−Ｂ−２）＋（Ｂ＋２）−｛Ｂ^2−Ｂ−２）（Ｂ−２）

＝３｛Ｂ^2−Ｂ−２）＋（Ｂ＋２）＋２｛Ｂ^2−Ｂ−２）＋（Ｂ^3−Ｂ^2−２Ｂ）

＝５Ｂ^2−４Ｂ−８＋（Ｂ^3−Ｂ^2−２Ｂ）

＝Ｂ^3＋４Ｂ^2−６Ｂ−８

　どちらもうまく因数分解できない．

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