■サマーヴィルの等面四面体(その911)

AB=BC=CD=a

AC=BD=b

AD=c

の四面体の体積は,144V^2

=a^2c^2(a^2−c^2)

 +b^4(3a^2−2b^2+c^2)

 +a^4(−a^2+c^2)

で与えられる.

 かつ,この四面体が正三角柱状空間充填四面体となるための条件は

  c^2=3(b^2−a^2)

であるから,a^2=1として,

144V^2=c^2(1−c^2)+b^4(3−2b^2+c^2)+(−1+c^2)

=−(c^2−1)^2+b^4(3−2b^2+c^2)

c^2=3b^2−3を代入すると,B=b^2

144V^2=−(3b^2−4)^2+b^6=B^3−9B^2+24B−16

体積=0となるためには

 b^3=±(3b^2−4)

[1]b^3=(3b^2−4)→b≧√(4/3)

b^3−3b^2+4=(b−2)(b^2−b−2)=(b−2)^2(b+1)

b=2,c=3

[2]b^3=−(3b^2−4)→b≦√(4/3)

b^3+3b^2−4=(b−1)(b^2+4b+4)=(b−1)(b+2)^2

b=1,c=0

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[雑感]collapsoble structureを考える上で意味のある解は得られない.

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