（杉岡）悩んでいたL(1)n分割の微分方程式ですが、結局、(ガウスの)超幾何微分方程式に移行でき、その解がGoldberg関係式に似たものになりました。

次のものです。

n＝1⇒ y＝(1-x)＾1＝1 -x

n＝2⇒ y＝(1-x)＾2＝1 -2x +x＾2

n＝3⇒ y＝(1-x)＾3＝1 -3x +3x＾2 -x＾3

n＝4⇒ y＝(1-x)＾4＝1 -4x +6x＾2 -4x＾3 +x＾4

n＝5⇒ y＝(1-x)＾5＝1 -5x +10x＾2 -10x＾3 +5x＾4 -x＾5

n＝6⇒ y＝(1-x)＾6＝1 -6x +15x＾2 -20x＾3 +15x＾4 -6x＾5 +x＾6

・・・・

（その１１２）のGoldberg関係式と（本質的に）ほぼ同じですよね？

交代級数の符号も同じ。ゼータは幾何学とも関係あるんでしょう・・

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［２］Goldberg関係式（ねじれる前を表現する）

　3a^2-3b^2+c^2=0

　4a^2-6b^2+4c^2-d^2=0

　5a^2-10b^2+10c^2-5d^2+e^2=0

　6a^2-15b^2+20c^2-15d^2+6e^2-f^2=0

　これらは係数は二項係数、符号が交代で現れるというもので

す。

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既に示してきたように、L(1)n分割の微分方程式は、

(t＾2+1)y´´-2(n-1)ty´+n(n-1)y＝0 ---�@　　　(n=1,2,3・・)

です。

　�@を既存の微分方程式に還元して、既存の多項式に帰着することが目標だったのですが、一応できたと思います。

　�@のtをt＝(2x-1)/iで変数変換すれば(iは虚数単位)、次の超幾何微分方程式に移行できます。

　x(x-1)y´´-(1-n-2(1-n)x)y´+n(n-1)y＝0 ----�A

　�Aの解の超幾何級数y＝F(a,b;c;x)から、a＝-n, b＝1-n, c＝1-nとして、求めた結果が冒頭の

　y＝(1-x)＾n

です。単純な二項展開式です。

　L(1)n分割がこんな単純なものに繋がったのには驚きましたが、ゼータはシンプルできれいなので納得もします。

　詳細はまた送りますが、概要はこんなところです。ゼータ分割が、Goldberg関係式という幾何学に結びついたことがうれしいです。　　（杉岡幹生）

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