■類フィボナッチ数列(その7)

 帰納法的に

(a2−βa1)=F2k−βFk=αFk

(a2−αa1)=F2k−αFk=βFk

であることが示せればよいのであるが,

[4]F3n=0  (mod2)

   F4n=0  (mod3)

   F5n=0  (mod5)

   F6n=0  (mod8)

   F7n=0  (mod13)

すなわち,フィボナッチ数はn個おきに,Fnの倍数になる.

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k=1のとき,F1=1,F2=1

(a2−βa1)=1−(1−√5)/2=α

(a2−αa1)=1−(1+√5)/2=β

α−β=√5

k=2のとき,F2=1,F4=3

(a2−βa1)=3−(3−√5)/2=α

(a2−αa1)=3−(3+√5)/2=β

α−β=√5

k=3のとき,F3=2,F6=8

(a2−βa1)=8−2(2−√5)=2α

(a2−αa1)=8−2(2+√5)=2β

α−β=2√5

k=4のとき,F4=3,F8=21

(a2−βa1)=21−3(7−3√5)/2=3α

(a2−αa1)=21−3(7+3√5)/2=3β

α−β=3√5

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