■類フィボナッチ数列(その6)

 F1−1,F2=1

 Fn=Fn-1+Fn-2

とすると

 F3=2,F4=3,F5=5,F6=8,F7=13,F8=21,F9=34

 F10=55,F11=89,F12=144,F13=233,・・・

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[1]フィボナッチ数を足しあせると,

  F1+F2+・・・+Fn

=(F3−F2)+(F4−F3)+・・・+(Fn+1−Fn-1)

=Fn+1−F2=Fn+1−1

  F2+F4+・・・+F2n

=F1+(F2+F3)+・・・+(F2n-2+F2n-1)

=F2n+1−1

  F1+F3+・・・+F2n-1

=F1+(F1+F2)+・・・+(F2n-2+F2n-1)

=F2n−1+F1=F2n

[2]2乗和

  F1^2+F2^2+・・・+Fn^2=FnFn+1

は,1辺の長さがフィボナッチ数の正方形をらせん状に配列すると,長方形ができるという図式説明がなされる.

[3]Fn^2−Fn-1Fn+1=(−1)^n

   Fn^2−Fn-rFn+r=(−Fr)^n

は,4ピースからなる8×8の正方形を並べ替えると5×13の長方形になるという有名なパラドックスのタネである.

[4]F3n=0  (mod2)

   F4n=0  (mod3)

   F5n=0  (mod5)

   F6n=0  (mod8)

   F7n=0  (mod13)

すなわち,フィボナッチ数はn個おきに,Fnの倍数になる.

[5](Fn,Fn+1)=1

   GCD(Fn,Fn+1)=FGCD(FM,FN)

[6]Fn+1/Fn → τ

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[1]ΣFi=Fn+2−1  (i=0〜n)

[2]Σ(Fi)^2=FnFn+1  (i=0〜n)

[3]ΣF2i+1=F2n+2  (i=0〜n)

[4]Fm+n=Fm-1Fn+FmFn+1

[5]Fm+n=Fm+1Fn+1+Fm-1Fn-1

[6](Fn)^2+{Fn+1)^2=F2n+1

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 フィボナッチ数の和について

[1]ΣFi=Fn+2−1  (i=0〜n)

すなわち,

F0+F1+F2+・・・+Fn=Fn+2−1

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