初項１，第２項１から始まるフィボナッチ数列｛Ｆn｝は

　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，・・・

ｋ＝１：　ａn+1＝ａn＋ａn-1

ｋ＝２：　ａn+1＝３ａn−ａn-1

ｋ＝３：　ａn+1＝４ａn＋ａn-1

ｋ＝４：　ａn+1＝７ａn−ａn-1

　　ａn+1＝（Ｆk-1＋Ｆk+1）ａn＋（−１）^kａn-1

帰納法的に

（ａ2−βａ1）＝Ｆ2k−βＦk＝αＦk

（ａ2−αａ1）＝Ｆ2k−αＦk＝βＦk

α−β＝√５Ｆk（証明済み）

であることが示せれば，

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

｛α^nＦk−β^nＦk｝／√５Ｆk＝｛α^n−β^n｝／√５

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