■類フィボナッチ数列(その2)

φ=(1+√5)/2,−1/φ=(1−√5)/2

φ^2=(3+√5)/2,(−1/φ)^2=(3−√5)/2

φ^3=(3+√5)/2・(1+√5)/2

  =(8+4√5)/4=2+√5

(−1/φ)^3=(3−√5)/2・(1−√5)/2

  =(8−4√5)/4=2−√5

===================================

【2】類フィボナッチ数列

  an+1=4an+an-1

 α=φ^3,β=(−1/β)^3を2次方程式x^2−4x−1=0の根(4±2√5)/2として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)

 したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^(n-1)(a2−βa1)−β^(n-1)(a2−αa1)}/(α−β)

α=2+√5,β=2−√5,初期値をa1=2,a2=8とすると

(a2−βa1)=8−2(2−√5)=2α

(a2−αa1)=8−2(2+√5)=2β

α−β=2√5

より

  an=1/√5{{(2+√5)}^n−{(2−√5)}^n}

  an=1/√5{{(1+√5)/2}^3n−{(1−√5)/2}^3n}=F3n

===================================