［定理］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数に等しい．

は２次元でしか成り立たなかった．

　しかるに，

［定理］単位円に内接する正多角形の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．単位球に内接する正多面体の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．

はすべての次元で通用する．両者の違いは何に基づいているのであろうか？

　前者は複素数，後者はベクトルの観点から証明したが，前者に対してもベクトルを用いて証明を与えることにしたい．

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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積を求めよ．

［Ａ１］ｖ個の頂点（Ｐ0，・・・，Ｐv-1）をもつ正多面体が半径１の円に内接しているとき，Ｑ^2＝Π(1,v-1)｜Ｐ0Ｐj｜^2の値を求めよという問題になる．

　内積をつかえば

　　Ｑ^2＝（Ｐ1−Ｐ0）・（Ｐ1−Ｐ1）・（Ｐ2−Ｐ0）・（Ｐ2−Ｐ0）・・・（Ｐv-1−Ｐ0）・（Ｐv-1−Ｐ0）

　ベクトル解析では原点はどこでも好きなところに選ぶことができるから，（Ｐ0を原点とするのではなく）円の中心に原点をおくと，

　　（Ｐj−Ｐ0）・（Ｐj−Ｐ0）＝Ｐ0・Ｐ0−２Ｐ0・Ｐj＋Ｐj・Ｐj

　　Ｐk・Ｐk＝１

より

　　（Ｐj−Ｐ0）・（Ｐj−Ｐ0）＝２−２Ｐ0・Ｐj＝２（１−Ｐ0・Ｐj）

よって

　　Ｑ^2＝２^(v-1)Π（１−Ｐ0・Ｐj）

が得られる．

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