■固有値と零点(その10)

 ここでは対称行列でなく,交代行列を扱う.

[0 1 0 0   0]

[-1 0 1 0    ]

[0 -1 0 1    ]=Bn

[0 0 -1 0    ]

[        0 1]

[0       -1 0]

[ x −1  0  0     0]

[+1  x −1  0      ]

[0  +1  x −1      ]=det(sEn−Bn)=Zn(x)

[0  0  +1  x      ]とおく.

[             x −1]

[0           +1  x]

Z△1(s)=s,

Z2(s)=s^2+1,

Z3(s)=s^3+2s,

Z4(s)=s^4−3s^2+3,

Z5(x)=s^5+4s^3+3s,

△n(x)=Π(x−2cos(kπ/(n+1))であったが,

Zn(s)=i^-n△n(is)より

Zn(s)=Π(s−2icos(kπ/(n+1))

Zn(1)=Fn+1

Fn=Π(1+4cos^2(kπ/n),k=1〜[n/2]Π

これはフィボナッチ数の無限席表示である.

 △n(0)について

  [参]黒川信重「零点問題集」現代数学社

を参照されたい.

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