■多角数と多角数ゼータ関数(その6)

 一般に,m角数の第n項は,多角形の辺数mは公差よりも2だけ大きいことから,初項1,公差m−2の等差数列の和:

  1/2・n・{2+(m−2)(n−1)}

 =1/2・n・{(m−2)n^2−(m−4)n},n=1,2,3,・・・

で与えられます.

  [参]黒川信重「零点問題集」現代数学社

では,m角数ゼータ関数を

  ζm(s)=Σ[1/2・n・{(m−2)n^2−(m−4)n}]^-s/2

で定義しています.

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[1]ζm(−2)を考えると

  ζ3(−2)=0,

  ζ4(−2)=0,

  ζ5(−2)=1/27,

  ζ6(−2)=1/16,

  ζ7(−2)=2/25,

  ζ8(−2)=5/54,

  ζ9(−2)=5/49,

  ζ10(−2)=7/64

[2]m→∞のときのζm(−2)を考えると

  ζ12(−2)=3/25,

  ζ17(−2)=91/675,

  ζ100(−2)=388/2401

  ζ∞(−2)=1/6が示されています.

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