■フルビッツのゼータ関数(その24)

 ほぼ1の数を無限にかけたら発散するだろうか.それとも収束するだろうか.

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 無限積Π(1+an)は,無限級数Σanが収束するならば収束する.したがって,

[1]Π((2n−1)/2n)=Π(1−1/2n)

   an=−1/2n → Σan=(収束)

   Π((2n−1)/2n)=0

[2]Π(1−1/2^n)

   an=−1/2^n → Σ|an|=1(収束) 

   Π(1−1/2^n) → (収束,超越数)

[3]Π(n^2/(n^2−1))=Π(1+1/(n^2−1))

   an=1/(n^2−1) → Σan=(収束)

   Π(n^2/(n^2−1))=2

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