【４】ラマヌジャンの関数

　ラマヌジャンは，

　　Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n

ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)

　　　　　 η(z)はデデキントのイータ関数，η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n)

を考え，そのフーリエ係数τ(n)を計算しました．

　　τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,τ(5)=4830,τ(6)=-6048,

　　τ(7)=-16744,τ(8)=84480,τ(9)=-113643,τ(10)=-115920,

　　τ(11)=534612,τ(12)=-370944,･･･

　無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式

　　Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式の拡張（２４乗版）と考えられます．

　ラマヌジャン数は，オイラーの分割数のアナローグであり，

(1)ｍとｎが素ならば，τ(m)τ(n)＝τ(mn)

　　τ(2)*τ(3)=-6048=τ(6)，τ(2)*τ(5)=-115920=τ(10)

　　τ(3)*τ(4)=-370944=τ(12)，τ(2)*τ(9)=2727432=τ(18)

　　τ(4)*τ(5)=-7109760=τ(20)，τ(3)*τ(7)=-4219488=τ(21)

(2)τ(p^(n+1))-τ(p^n)τ(p)=-p^11τ(p^(n-1))　　　（漸化式）

(3)τ(n)＝σ11（ｎの約数の１１乗の総和）　　（ｍｏｄ　６９１）

(4)τ(n)＝ｎ^2σ7　　（ｍｏｄ　２７）

(5)τ(n)＝ｎσ3　　（ｍｏｄ　７）

など，驚くような性質をもっています．

　１９１６年，ラマヌジャンはラマヌジャン数のゼータについて考え，ある予想をたてました．ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，

　　Ｌ(s)＝Στ(n)n^(-s)

とおくと（オイラー積のアナローグ）

　　Ｌ(s)＝Π{1-τ(p)p^(-s)+p^(11-2s)}^(-1)

が成り立つことを予想したのです．

　歴史上最初のゼータであるオイラー積

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

は積の中身がｐ^(-s)の１次式であり，本質的には１次のゼータでしたが，Ｌ関数では，ｐ^(-1)の１次式から２次式に進化しているのです．ラマヌジャン数のゼータは，歴史上最初の２次のゼータといえるのですが，新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．

　また，τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想，

　　｜τ(p)｜＜２ｐ^(11/2)

が証明されています．この式はp^(-s)=ｘとおいた２次式

　　1-τ(p)ｘ+p^11ｘ^2

の虚根条件（判別式：τ(p)^2-4p^11＜０）となっていることに注意して下さい．

　このようにして，

　　τ(p)＝２ｐ^(11/2)ｃｏｓθp　　　（０≦θp≦π）

なるθpがただひとつとれます．そこで，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角θpが［ａ，ｂ］となる素数密度は

　　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

で与えられるだろうという佐藤幹夫予想がたてられています．すなわち，θp＝π／２のあたりに多く分布していることを予想しているというわけです．この予想は２００９年，テイラーにより証明されました．

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