■フルビッツのゼータ関数(その11)

 g(x)=xΠ(1−x^k)^24=Στ(n)x^n

すなわち,τ(n)を展開式におけるx^nのン係数とする.

  τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472

  τ(5)=4830,τ(5)=-6048,τ(7)-16744,τ(8)=84480

  τ(9)-1136430,τ(10)=-445920

 τ(n)は,(m,n)=1ならτ(mn)=τ(m)τ(n)

乗法的性質をもっている.

τ(6)=τ(2)τ(3)

τ(10)=τ(2)τ(5)

τ(4)=τ^2(2)−2^11

τ(8)=τ(2)τ(4)−2^11τ(2)

τ(9)=τ^2(3)−3^11

[1]n=7m+k(k=0,3,5,6)→τ(n)=0 (mod7)

[2]n=23m+k(kが23の平方非剰余であるとき)→τ(23m+k)=0 (mod23)

[3]τ(n)=σ11(n) (約数の11乗の和)(mod691)

===================================