■フルビッツのゼータ関数(その9)

 さて,ラマヌジャンの計算の近似値を求めてみることにしましょう.ベルヌーイ数{Bn}の指数型母関数

  x/{exp(x)-1}=ΣBn/n!x^n

を使って,あるいは,

 ∫(0,∞)=∫(0,1)+∫(1,∞)

と分けて厳密に考察すべきなのでしょうが,細かいことは気にせずに計算すると,

  ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx

において,x=2πyとおくと,dx=2πdyより,

  ∫(0,∞)y^(s-1)/{exp(2πy)-1}dy=ζ(s)Γ(s)/(2π)^s

 これより,

  Σn^(s-1)/{exp(2πn)-1} 〜  ζ(s)Γ(s)/(2π)^s

ここで,ζ(2)=π^2/6,ζ(4)=π^4/90,ζ(6)=π^6/945を代入すると,

  Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504 〜 1/504

  Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240 〜 1/240

  Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π 〜 1/24

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