■おかあさんのための数学教室(その130)

 コラム「サマーヴィルの等面四面体」では

もしnθ→αであれば,θ→α/n

 tanθ=θ+θ^3/3+2θ^5/15+17nθ^7/315+・・・

→α/n+(α/n)^3/3+2(α/n)^5/15+17(α/)^7/315+・・・

n→∞のとき,

 ntanθ→α

 tan(α)=αとなるα[π,3π/2]を数値計算で求める問題となる.

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 計算結果は

 α=4.49341

 ξ=514.907°となった.

 y=tanxとy=xのグラフを描けば,交点が無限個存在することは一目瞭然である.さらの0以外の交点は区間[kπ,(k+1/2)π]に1個ずつ存在しそれに尽きることもわかるだろう.それでは,複素数関数を考える.

[1]複素数関数f(x)=tanx−xの零点はすべて実数であり,無限個存在する.

[2]複素数関数f(x)=tanx−xの零点は0以外はすべて超越数である.

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[Q]複素数関数f(x)=tanx−xの零点は0以外はすべて超越数であることを証明せよ.

[A]tan(α)=αとなる代数的数α(≠0)が存在したとする.このとき

tan(α)=1/i・{exp(iα)−exp(−iα)}/{exp(iα)+exp(−iα)}=αより,

{exp(iα)−exp(−iα)}/{exp(iα)+exp(−iα)}

=iα

したがって,exp(iα)は代数的数になるが,これはリンデマンの定理(1882年)

「αが零でない代数的数ならばexpαは超越数」に矛盾する.

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